DA 2D — Méthode de Kienle avec Fluorescence (Fréquences Spatiales)¶

Introduction¶

On étend ici la méthode de Kienle (voir DA 2D — Méthode de Kienle sans Fluorescence (Fréquences Spatiales)) au cas fluorescent. La source d’excitation est un faisceau pencil beam \(F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\). Le terme source d’émission inclut les deux contributions : photons diffus \(\Phi_x\) et photons balistiques \(F_0 e^{-\mu_{tx}z}\). La transformée de Fourier 2D transverse donne deux EDO 1D couplées résolues séquentiellement.

Système d’EDO Couplées dans l’Espace de Fourier¶

Après transformation de Fourier 2D transverse :

Excitation :

\[\frac{d^2\tilde\Phi_x}{dz^2} - \alpha_x^2\,\tilde\Phi_x = -\frac{F_0\,\mu_{sx}'}{D_x}\,e^{-\mu_{tx} z}\]

\[\alpha_x = \sqrt{s_r^2 + \frac{\mu_{ax}^\text{tot}}{D_x}}, \quad z_{0x} = \frac{1}{\mu_{tx}}, \quad \delta_x = \sqrt{\frac{D_x}{\mu_{ax}^\text{tot}}}\]

Émission :

La transformée de Fourier du terme source d’émission \(\eta\,\mu_{af}\!\left[\Phi_x(\mathbf{r}) + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]\) donne, en espace de Fourier (\(\tilde\delta^{(2)} = 1\)) :

\[\frac{d^2\tilde\Phi_m}{dz^2} - \alpha_m^2\,\tilde\Phi_m = -\frac{\eta\,\mu_{af}}{D_m}\!\left[\tilde\Phi_x(s_r,z) + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\right]\]

\[\alpha_m = \sqrt{s_r^2 + \frac{\mu_{am}}{D_m}}, \quad \delta_m = \sqrt{\frac{D_m}{\mu_{am}}}\]

Le membre de droite est donc la somme de trois termes exponentiels en \(z\) : deux issus de \(\tilde\Phi_x\) (terme balistique amorti + terme diffus image) et un terme balistique direct \(F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\).

Résolution — Champ d’Excitation¶

La solution complète de l’EDO d’excitation est (voir DA 2D — Méthode de Kienle sans Fluorescence (Fréquences Spatiales)) :

\[\tilde\Phi_x(s_r,z) = \frac{F_0\,\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)} \left[e^{-\mu_{tx} z} - e^{\mu_{tx} z_{bx}-\alpha_x(z+z_{bx})}\right]\]

Résolution — Champ d’Émission¶

Le membre de droite de l’EDO d’émission est :

\[f_m(z) = -\frac{\eta\,\mu_{af}}{D_m}\!\left[\tilde\Phi_x(s_r,z) + F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\right]\]

En substituant \(\tilde\Phi_x\) :

\[f_m(z) = -\frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{D_m}\left[ \underbrace{\left(\frac{\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)} + 1\right)}_{\displaystyle\equiv\,K_0}\,e^{-\mu_{tx} z} - \frac{\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)}\,e^{\mu_{tx} z_{bx}-\alpha_x(z+z_{bx})} \right]\]

On a donc deux types de termes sources à traiter :

Type A : \(C_A\,e^{-\mu_{tx} z}\) — solution particulière (\(\alpha_m \neq \mu_{tx}\)) :

\[\tilde\Phi_{m,A}^\text{part}(z) = \frac{C_A}{\alpha_m^2-\mu_{tx}^2}\,e^{-\mu_{tx} z}\]

avec \(C_A = \frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{D_m}\,K_0 = \frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{D_m}\!\left(\frac{\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)}+1\right)\).

Type B : \(C_B\,e^{-\alpha_x(z+z_{bx})}\) — solution particulière (\(\alpha_m \neq \alpha_x\)) :

\[\tilde\Phi_{m,B}^\text{part}(z) = \frac{C_B}{\alpha_m^2-\alpha_x^2}\,e^{-\alpha_x(z+z_{bx})}\]

avec \(C_B = -\frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0\,\mu_{sx}'}{D_m D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)}\,e^{\mu_{tx} z_{bx}}\).

Solution

Pour le type A, on injecte \(P\,e^{-\mu_{tx}z}\) :

\[P\mu_{tx}^2\,e^{-\mu_{tx}z} - \alpha_m^2 P\,e^{-\mu_{tx}z} = C_A\,e^{-\mu_{tx}z} \implies P = \frac{-C_A}{\alpha_m^2-\mu_{tx}^2}\]

soit \(\tilde\Phi_{m,A}^\text{part} = C_A/(\alpha_m^2-\mu_{tx}^2)\,e^{-\mu_{tx}z}\) (avec \(C_A\) déjà affecté d’un signe \(-\) dans la définition de \(f_m\)).

Pour le type B, identique avec \(\alpha_x\) à la place de \(\mu_{tx}\).

Le facteur \(K_0 = \mu_{sx}'/(D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2))+1\) regroupe la contribution de \(\tilde\Phi_x\) et celle du terme balistique direct. À \(s_r = 0\) et dans l’espace réel (\(\alpha_x = 1/\delta_x\)), on retrouve le préfacteur du cas 1D.

La solution générale ajoute la solution homogène bornée \(B_m\,e^{-\alpha_m z}\), dont la constante est fixée par \(\tilde\Phi_m(-z_{bm}) = 0\) :

\[\boxed{ \tilde\Phi_m(s_r,z) = \tilde\Phi_{m,A}^\text{part}(z) + \tilde\Phi_{m,B}^\text{part}(z) + B_m\,e^{-\alpha_m z} }\]

\[B_m = -\left[\tilde\Phi_{m,A}^\text{part}(-z_{bm}) + \tilde\Phi_{m,B}^\text{part}(-z_{bm})\right]e^{-\alpha_m z_{bm}}\]

Réflectances dans l’Espace de Fourier¶

Réflectance d’excitation :

\[\tilde R_x(s_r) = -D_x\,\frac{d\tilde\Phi_x}{dz}\bigg|_{z=0} = \frac{F_0\,\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)}\!\left[-\mu_{tx} + \alpha_x\,e^{\mu_{tx}z_{bx}-\alpha_x z_{bx}}\right](-D_x)\]

Réflectance d’émission :

\[\tilde R_m(s_r) = -D_m\,\frac{d\tilde\Phi_m}{dz}\bigg|_{z=0}\]

En développant :

\[\tilde R_m(s_r) = -D_m\left[ -\frac{\mu_{tx}\,C_A}{\alpha_m^2-\mu_{tx}^2} - \frac{\alpha_x\,C_B\,e^{-\alpha_x z_{bx}}}{\alpha_m^2-\alpha_x^2} + B_m(-\alpha_m) \right]\]

Ces deux quantités sont les données directement mesurables en SFDI fluorescente.

Retour dans l’Espace Réel¶

Par transformée de Hankel inverse :

\[R_m(\rho) = \frac{1}{2\pi}\int_0^\infty \tilde R_m(s_r)\,J_0(s_r\,\rho)\,s_r\,ds_r\]

Cette intégrale est calculée numériquement (algorithme de Hankel rapide). Elle redonne la même réflectance que la méthode des dipôles 2D (voir DA 2D — Méthode des Dipôles avec Fluorescence).

Régime Fréquentiel et Temporel¶

En régime fréquentiel (\(\omega\)), on substitue \(\mu_{a\lambda} \leftarrow \mu_{a\lambda}+j\omega/c\) dans les deux équations, et le terme de couplage fluorescent devient :

\[\frac{\eta\,\mu_{af}}{1+j\omega\tau_f}\!\left[\tilde\Phi_x(s_r,z,\omega) + F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\right]\]

\(\tilde R_m(s_r,\omega)\) est alors complexe. Sa phase encode le temps de vie \(\tau_f\), indépendamment de la géométrie.

Avantages par Rapport aux Dipôles 2D¶

Terme source exact : l’EDO en \(z\) préserve le terme \(e^{-\mu_{tx}z}\) exact et la contribution balistique directe au terme source d’émission, sans approximation dipôlaire supplémentaire.
Multicouches : le passage en fréquences spatiales se généralise naturellement à \(N\) couches par raccordement des solutions à chaque interface.
SFDI : \(\tilde R_m(s_r)\) est directement l’observable expérimental en SFDI fluorescente, sans transformée inverse intermédiaire.