DA 2D — Méthode de Kienle avec Fluorescence (Fréquences Spatiales) =================================================================== Introduction ------------ On étend ici la méthode de Kienle (voir :doc:`08_da_2d_kienle_sans_fluo`) au cas **fluorescent**. La source d'excitation est un faisceau pencil beam $F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})$. Le terme source d'émission inclut les deux contributions : photons diffus $\Phi_x$ et photons balistiques $F_0 e^{-\mu_{tx}z}$. La transformée de Fourier 2D transverse donne deux EDO 1D couplées résolues séquentiellement. Système d'EDO Couplées dans l'Espace de Fourier ------------------------------------------------- Après transformation de Fourier 2D transverse : **Excitation :** $$\frac{d^2\tilde\Phi_x}{dz^2} - \alpha_x^2\,\tilde\Phi_x = -\frac{F_0\,\mu_{sx}'}{D_x}\,e^{-\mu_{tx} z}$$ $$\alpha_x = \sqrt{s_r^2 + \frac{\mu_{ax}^\text{tot}}{D_x}}, \quad z_{0x} = \frac{1}{\mu_{tx}}, \quad \delta_x = \sqrt{\frac{D_x}{\mu_{ax}^\text{tot}}}$$ **Émission :** La transformée de Fourier du terme source d'émission $\eta\,\mu_{af}\!\left[\Phi_x(\mathbf{r}) + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]$ donne, en espace de Fourier ($\tilde\delta^{(2)} = 1$) : $$\frac{d^2\tilde\Phi_m}{dz^2} - \alpha_m^2\,\tilde\Phi_m = -\frac{\eta\,\mu_{af}}{D_m}\!\left[\tilde\Phi_x(s_r,z) + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\right]$$ $$\alpha_m = \sqrt{s_r^2 + \frac{\mu_{am}}{D_m}}, \quad \delta_m = \sqrt{\frac{D_m}{\mu_{am}}}$$ Le membre de droite est donc la somme de **trois termes exponentiels** en $z$ : deux issus de $\tilde\Phi_x$ (terme balistique amorti + terme diffus image) et un terme balistique direct $F_0\,e^{-\mu_{tx}z}$. Résolution — Champ d'Excitation --------------------------------- La solution complète de l'EDO d'excitation est (voir :doc:`08_da_2d_kienle_sans_fluo`) : $$\tilde\Phi_x(s_r,z) = \frac{F_0\,\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)} \left[e^{-\mu_{tx} z} - e^{\mu_{tx} z_{bx}-\alpha_x(z+z_{bx})}\right]$$ Résolution — Champ d'Émission -------------------------------- Le membre de droite de l'EDO d'émission est : $$f_m(z) = -\frac{\eta\,\mu_{af}}{D_m}\!\left[\tilde\Phi_x(s_r,z) + F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\right]$$ En substituant $\tilde\Phi_x$ : $$f_m(z) = -\frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{D_m}\left[ \underbrace{\left(\frac{\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)} + 1\right)}_{\displaystyle\equiv\,K_0}\,e^{-\mu_{tx} z} - \frac{\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)}\,e^{\mu_{tx} z_{bx}-\alpha_x(z+z_{bx})} \right]$$ On a donc deux types de termes sources à traiter : **Type A** : $C_A\,e^{-\mu_{tx} z}$ — solution particulière ($\alpha_m \neq \mu_{tx}$) : $$\tilde\Phi_{m,A}^\text{part}(z) = \frac{C_A}{\alpha_m^2-\mu_{tx}^2}\,e^{-\mu_{tx} z}$$ avec $C_A = \frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{D_m}\,K_0 = \frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{D_m}\!\left(\frac{\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)}+1\right)$. **Type B** : $C_B\,e^{-\alpha_x(z+z_{bx})}$ — solution particulière ($\alpha_m \neq \alpha_x$) : $$\tilde\Phi_{m,B}^\text{part}(z) = \frac{C_B}{\alpha_m^2-\alpha_x^2}\,e^{-\alpha_x(z+z_{bx})}$$ avec $C_B = -\frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0\,\mu_{sx}'}{D_m D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)}\,e^{\mu_{tx} z_{bx}}$. .. solution:: Pour le type A, on injecte $P\,e^{-\mu_{tx}z}$ : $$P\mu_{tx}^2\,e^{-\mu_{tx}z} - \alpha_m^2 P\,e^{-\mu_{tx}z} = C_A\,e^{-\mu_{tx}z} \implies P = \frac{-C_A}{\alpha_m^2-\mu_{tx}^2}$$ soit $\tilde\Phi_{m,A}^\text{part} = C_A/(\alpha_m^2-\mu_{tx}^2)\,e^{-\mu_{tx}z}$ (avec $C_A$ déjà affecté d'un signe $-$ dans la définition de $f_m$). Pour le type B, identique avec $\alpha_x$ à la place de $\mu_{tx}$. Le facteur $K_0 = \mu_{sx}'/(D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2))+1$ regroupe la contribution de $\tilde\Phi_x$ **et** celle du terme balistique direct. À $s_r = 0$ et dans l'espace réel ($\alpha_x = 1/\delta_x$), on retrouve le préfacteur du cas 1D. La solution générale ajoute la solution homogène bornée $B_m\,e^{-\alpha_m z}$, dont la constante est fixée par $\tilde\Phi_m(-z_{bm}) = 0$ : $$\boxed{ \tilde\Phi_m(s_r,z) = \tilde\Phi_{m,A}^\text{part}(z) + \tilde\Phi_{m,B}^\text{part}(z) + B_m\,e^{-\alpha_m z} }$$ $$B_m = -\left[\tilde\Phi_{m,A}^\text{part}(-z_{bm}) + \tilde\Phi_{m,B}^\text{part}(-z_{bm})\right]e^{-\alpha_m z_{bm}}$$ Réflectances dans l'Espace de Fourier ---------------------------------------- **Réflectance d'excitation** : $$\tilde R_x(s_r) = -D_x\,\frac{d\tilde\Phi_x}{dz}\bigg|_{z=0} = \frac{F_0\,\mu_{sx}'}{D_x(\alpha_x^2-\mu_{tx}^2)}\!\left[-\mu_{tx} + \alpha_x\,e^{\mu_{tx}z_{bx}-\alpha_x z_{bx}}\right](-D_x)$$ **Réflectance d'émission** : $$\tilde R_m(s_r) = -D_m\,\frac{d\tilde\Phi_m}{dz}\bigg|_{z=0}$$ En développant : $$\tilde R_m(s_r) = -D_m\left[ -\frac{\mu_{tx}\,C_A}{\alpha_m^2-\mu_{tx}^2} - \frac{\alpha_x\,C_B\,e^{-\alpha_x z_{bx}}}{\alpha_m^2-\alpha_x^2} + B_m(-\alpha_m) \right]$$ Ces deux quantités sont les données directement mesurables en SFDI fluorescente. Retour dans l'Espace Réel -------------------------- Par transformée de Hankel inverse : $$R_m(\rho) = \frac{1}{2\pi}\int_0^\infty \tilde R_m(s_r)\,J_0(s_r\,\rho)\,s_r\,ds_r$$ Cette intégrale est calculée numériquement (algorithme de Hankel rapide). Elle redonne la même réflectance que la méthode des dipôles 2D (voir :doc:`07_da_2d_dipoles_avec_fluo`). Régime Fréquentiel et Temporel -------------------------------- En régime fréquentiel ($\omega$), on substitue $\mu_{a\lambda} \leftarrow \mu_{a\lambda}+j\omega/c$ dans les deux équations, et le terme de couplage fluorescent devient : $$\frac{\eta\,\mu_{af}}{1+j\omega\tau_f}\!\left[\tilde\Phi_x(s_r,z,\omega) + F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\right]$$ $\tilde R_m(s_r,\omega)$ est alors complexe. Sa phase encode le temps de vie $\tau_f$, indépendamment de la géométrie. Avantages par Rapport aux Dipôles 2D --------------------------------------- - **Terme source exact** : l'EDO en $z$ préserve le terme $e^{-\mu_{tx}z}$ exact et la contribution balistique directe au terme source d'émission, sans approximation dipôlaire supplémentaire. - **Multicouches** : le passage en fréquences spatiales se généralise naturellement à $N$ couches par raccordement des solutions à chaque interface. - **SFDI** : $\tilde R_m(s_r)$ est directement l'observable expérimental en SFDI fluorescente, sans transformée inverse intermédiaire. .. seealso:: :doc:`07_da_2d_dipoles_avec_fluo` — résolution équivalente dans l'espace réel. :doc:`08_da_2d_kienle_sans_fluo` — même méthode sans fluorescence. :doc:`../base/02_fluorescence_etr` — système d'ETR couplées dont est issu ce système de DA.