Méthode DOM 1D (Chandrasekhar) avec Fluorescence¶

Introduction¶

On étend ici la méthode DOM 1D (voir Méthode DOM 1D (Chandrasekhar) sans Fluorescence) au cas fluorescent. Le fluorophore crée un couplage entre le champ d’excitation à \(\lambda_x\) et le champ d’émission à \(\lambda_m > \lambda_x\). Ce couplage apparaît comme un terme source supplémentaire dans l’ETR d’émission, proportionnel à la fluence d’excitation locale. Comme pour la DA (voir DA 1D — Méthode des Dipôles avec Fluorescence), le système est résolu séquentiellement : d’abord l’ETR d’excitation, puis l’ETR d’émission.

Système de Deux ETR 1D Couplées¶

En géométrie plan-parallèle (dépendance en \(\tau\) seule), les deux ETR sont :

ETR d’excitation :

\[\mu\,\frac{dI_x(\tau_x,\mu)}{d\tau_x} = -I_x + \frac{\varpi_x}{2}\int_{-1}^{1}p_x(\mu',\mu)\,I_x(\tau_x,\mu')\,d\mu' + (1-\varpi_x')\,B_x + S_x(\tau_x,\mu)\]

avec l’albédo effectif \(\varpi_x' = \sigma_x/(\kappa_x+\mu_{af}+\sigma_x)\) tenant compte de l’absorption du fluorophore, et \(d\tau_x = (\kappa_x+\mu_{af}+\sigma_x)\,dz\).

ETR d’émission :

\[\mu\,\frac{dI_m(\tau_m,\mu)}{d\tau_m} = -I_m + \frac{\varpi_m}{2}\int_{-1}^{1}p_m(\mu',\mu)\,I_m(\tau_m,\mu')\,d\mu' + Q_f(\tau_m,\mu)\]

avec le terme source fluorescent :

\[Q_f(\tau_m,\mu) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{4\pi}\,\Phi_x(z(\tau_m)) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{4\pi}\int_{-1}^{1}I_x(z(\tau_m),\mu')\,d\mu'\]

et \(d\tau_m = (\kappa_m+\sigma_m)\,dz\).

Discrétisation Angulaire des Deux ETR¶

On applique la même quadrature de Gauss-Legendre à \(N\) points à chaque ETR.

Système discret d’excitation (identique à Méthode DOM 1D (Chandrasekhar) sans Fluorescence) :

\[\frac{d\mathbf{I}_x}{d\tau_x} = \mathbf{A}_x\,\mathbf{I}_x + \mathbf{b}_x'\]

Système discret d’émission :

\[\frac{d\mathbf{I}_m}{d\tau_m} = \mathbf{A}_m\,\mathbf{I}_m + \mathbf{q}_f(\tau_m)\]

où le vecteur de terme source fluorescent est :

\[q_{f,i}(\tau_m) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{4\pi}(\mathbf{M}_x^{-1})_{ii}\sum_{j=1}^{N}w_j\,I_{x,j}(z(\tau_m)) \quad\text{(isotropie de l'émission)}\]

Plus simplement, comme l’émission de fluorescence est isotrope (\(f(\hat{\mathbf{n}}) = 1/4\pi\)) :

\[q_{f,i} = \frac{\eta\,\mu_{af}}{4\pi}\,\Phi_x^{(N)}(z), \quad \Phi_x^{(N)}(z) = \sum_{j=1}^N w_j\,I_{x,j}(z)\]

Résolution — Étape 1 : Champ d’Excitation¶

On résout le système d’excitation par décomposition en valeurs propres de \(\mathbf{A}_x\) (voir Méthode DOM 1D (Chandrasekhar) sans Fluorescence). On obtient \(\mathbf{I}_x(\tau_x)\) et on en déduit la fluence discrétisée \(\Phi_x^{(N)}(z)\).

Résolution — Étape 2 : Champ d’Émission¶

Le système d’émission est une EDO non-homogène avec un terme source connu \(\mathbf{q}_f(z)\) :

\[\frac{d\mathbf{I}_m}{d\tau_m} = \mathbf{A}_m\,\mathbf{I}_m + \mathbf{q}_f(\tau_m)\]

Solution homogène : \(\mathbf{I}_m^\text{hom}(\tau_m) = \sum_k c_k\,\mathbf{v}_k^{(m)}\,e^{\lambda_k^{(m)}\tau_m}\), obtenue par décomposition en valeurs propres de \(\mathbf{A}_m\).

Solution particulière : comme \(\mathbf{q}_f\) est une combinaison d’exponentielles \(e^{\lambda_k^{(x)}\tau}\) (héritées de la solution d’excitation), la solution particulière est cherchée sous la même forme par variation des constantes :

\[\mathbf{I}_m^\text{part}(\tau_m) = \sum_k \mathbf{p}_k\,e^{\lambda_k^{(x)}\tau_m}\]

\[\left(\lambda_k^{(x)}\,\mathbf{I}_N - \mathbf{A}_m\right)\mathbf{p}_k = \mathbf{r}_k\]

Ce système linéaire \(N \times N\) est résolu pour chaque \(k\) (non singulier si \(\lambda_k^{(x)}\) n’est pas valeur propre de \(\mathbf{A}_m\), ce qui est généralement le cas car \(\lambda_x \neq \lambda_m\) dès que \(\delta_x \neq \delta_m\)).

Solution complète :

\[\mathbf{I}_m(\tau_m) = \mathbf{I}_m^\text{hom}(\tau_m) + \mathbf{I}_m^\text{part}(\tau_m)\]

Les constantes \(c_k\) sont fixées par les conditions aux limites : - Pas de flux incident de fluorescence en \(\tau_m = 0\) (directions montantes) ; - Termes croissants exclus (milieu semi-infini) ou conditions en \(\tau_m = \tau_L\) (slab).

Réflectance de Fluorescence¶

La réflectance de fluorescence en \(\tau_m = 0\) est :

\[R_m = \sum_{\mu_i < 0} w_i\,|\mu_i|\,I_{m,i}(0)\]

C’est la grandeur inversée en FDOT pour reconstruire \(\mu_{af}(\mathbf{r})\).

Extension Temporelle¶

En régime temporel, la convolution avec le temps de vie \(\tau_f\) s’exprime en domaine fréquentiel (\(\omega\)) par le facteur \((1+j\omega\tau_f)^{-1}\) appliqué au terme source :

\[Q_f(\tau_m,\mu,\omega) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{4\pi(1+j\omega\tau_f)}\,\tilde\Phi_x^{(N)}(z,\omega)\]

De plus, le terme \(j\omega/c\) s’ajoute à \(\chi\) dans chaque ETR (termes temporels). La transformée inverse donne la TPSF de fluorescence.

Comparaison DOM vs DA — Cas Fluorescent¶

Critère	DOM 1D	DA 2D (Kienle/dipôles)
Hypothèse sur \(\mu_s'/\mu_a\)	Aucune	\(\mu_s' \gg \mu_a\) requis
Validité près des sources	Oui	Non (\(r \lesssim \ell^*\))
Géométrie	Plan-parallèle (1D)	Semi-infini (2D)
Coût de calcul	\(O(N^2)\) par profondeur	Analytique fermé
Terme source fluorescent	\(\Phi_x^{(N)}(z)\) discrète	\(\Phi_x(r,z)\) analytique
Extension multicouches	Raccordement par couche	Série d’images ou Fourier