DA 2D — Méthode de Kienle sans Fluorescence (Fréquences Spatiales)¶

Introduction¶

La méthode de Kienle (Kienle & Patterson, 1997) résout l’équation de diffusion dans un milieu semi-infini en décomposant le problème en ondes planes par une transformée de Fourier 2D sur les coordonnées transverses \((x,y)\). Cette approche réduit l’EDP 3D à une famille d’EDO 1D en \(z\), résolues analytiquement. Elle est rigoureusement équivalente à la méthode des dipôles (voir DA 2D — Méthode des Dipôles sans Fluorescence) pour un milieu semi-infini homogène, mais se généralise naturellement aux milieux multicouches et à la mesure dans l’espace de Fourier (SFDI).

Terme Source et Transformée de Fourier 2D Transverse¶

La source est un faisceau pencil beam \(F_0\,e^{-\mu_t z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\). On définit la transformée de Fourier 2D sur \((x,y)\) avec la fréquence spatiale radiale \(s_r = \sqrt{s_x^2+s_y^2}\) (rad mm\(^{-1}\)) :

\[\tilde f(s_r, z) = \int\!\!\int f(x,y,z)\,e^{-j(s_x x+s_y y)}\,dx\,dy\]

La transformée du terme source est :

\[\widetilde{F_0\,\mu_s'\,e^{-\mu_t z}\,\delta^{(2)}} = F_0\,\mu_s'\,e^{-\mu_t z}\]

Comme \(\nabla_\perp^2 f \xrightarrow{\mathcal{F}} -s_r^2\,\tilde f\), l’équation de diffusion devient une EDO 1D en \(z\) :

\[\frac{d^2\tilde\Phi}{dz^2} - \alpha^2(s_r)\,\tilde\Phi = -\frac{F_0\,\mu_s'}{D}\,e^{-\mu_t z}\]

avec le coefficient d’atténuation axial :

\[\boxed{\alpha(s_r) = \sqrt{s_r^2 + \frac{\mu_a}{D}} = \sqrt{s_r^2 + \frac{1}{\delta^2}}}\]

Résolution de l’EDO 1D¶

Solution particulière. On cherche \(\tilde\Phi^\text{part} = P\,e^{-\mu_t z}\) :

\[P(\mu_t^2 - \alpha^2)\,e^{-\mu_t z} = -\frac{F_0\,\mu_s'}{D}\,e^{-\mu_t z} \implies P = \frac{F_0\,\mu_s'}{D(\alpha^2-\mu_t^2)}\]

Solution homogène. La condition de bornitude (\(z\to+\infty\)) impose \(e^{-\alpha z}\). La condition aux limites extrapolée \(\tilde\Phi(-z_b) = 0\) fixe la constante \(B\) :

\[\tilde\Phi^\text{hom}(z) = B\,e^{-\alpha z}\]

\[B = -\tilde\Phi^\text{part}(-z_b)\,e^{-\alpha z_b} = -\frac{F_0\,\mu_s'}{D(\alpha^2-\mu_t^2)}\,e^{\mu_t z_b}\,e^{-\alpha z_b}\]

Solution complète :

\[\tilde\Phi(s_r,z) = \frac{F_0\,\mu_s'}{D(\alpha^2-\mu_t^2)} \left[e^{-\mu_t z} - e^{\mu_t z_b-\alpha(z+z_b)}\right]\]

On retrouve la structure dipôle en espace de Fourier par l’approximation \(\mu_t e^{-\mu_t z'} \approx \delta(z' - z_0)\) avec \(z_0 = 1/\mu_t\) :

\[\tilde\Phi(s_r,z) \approx \frac{F_0\,\mu_s'}{2\alpha D\,\mu_t} \left[e^{-\alpha|z-z_0|} - e^{-\alpha(z+z_0+2z_b)}\right]\]

Réflectance dans l’Espace de Fourier¶

La réflectance transformée \(\tilde R(s_r) = -D\,\partial_z\tilde\Phi|_{z=0}\) :

\[\boxed{ \tilde R(s_r) = \frac{F_0\,\mu_s'}{2\mu_t}\, \frac{e^{-\alpha z_0} + e^{-\alpha(z_0+2z_b)}}{1+2AD\alpha} }\]

Solution

En dérivant la solution complète exacte et en évaluant en \(z=0\) :

\[\tilde R = -D\,\frac{d\tilde\Phi}{dz}\bigg|_{z=0} = \frac{F_0\,\mu_s'}{D(\alpha^2-\mu_t^2)}\, \left[-(-\mu_t) + \alpha\,e^{\mu_t z_b - \alpha z_b}\right]\,(-D)\]

Ce qui, après l’approximation dipôlaire, donne la forme factorisée ci-dessus. Le dénominateur \(1+2AD\alpha\) provient de la condition aux limites extrapolée \(z_b = 2AD\).

Cette expression analytique explicite est directement utilisable pour l’ajustement des mesures SFDI (Spatial Frequency Domain Imaging).

Retour dans l’Espace Réel — Transformée de Hankel¶

Par symétrie cylindrique, la transformée de Fourier inverse 2D se réduit à la transformée de Hankel d’ordre 0 :

\[R(\rho) = \frac{1}{2\pi}\int_0^\infty \tilde R(s_r)\,J_0(s_r\,\rho)\,s_r\,ds_r\]

L’évaluation analytique de cette intégrale (via les résidus) redonne exactement la formule des dipôles :

\[\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty \frac{F_0\,\mu_s'}{2\mu_t}\, \frac{e^{-\alpha z_+}}{2\alpha D}\,J_0(s_r \rho)\,s_r\,ds_r = \frac{F_0\,\mu_s'}{4\pi D\,\mu_t}\,\frac{e^{-\rho_+/\delta}}{\rho_+}\]

L’équivalence entre les deux méthodes est donc exacte terme à terme.

Régime Fréquentiel et Temporel¶

En régime fréquentiel (\(\omega\)), on substitue \(\mu_a \leftarrow \mu_a+j\omega/c\), ce qui rend \(\alpha\) complexe :

\[\alpha(\omega,s_r) = \sqrt{s_r^2 + \frac{\mu_a+j\omega/c}{D}}\]

\(\tilde R(s_r,\omega)\) est alors complexe (amplitude + phase mesurables). La réponse temporelle (TPSF) s’obtient par transformée de Laplace inverse de \(\tilde R(s_r,s)\) avec \(s = j\omega\).

Application à la SFDI¶

En SFDI, on illumine le milieu avec un patron sinusoïdal \(I_0[1+M\cos(s_r x+\varphi)]\). La réflectance mesurée AC est \(M_\text{AC}(s_r) = M\,|\tilde R(s_r)|\). En faisant varier \(s_r\), on obtient le spectre \(\tilde R(s_r)\) qu’on ajuste sur la formule analytique pour extraire simultanément \(\mu_a\) et \(\mu_s'\).

La sensibilité aux paramètres optiques dépend de la fréquence : aux basses fréquences (\(s_r \to 0\)), \(\tilde R\) est surtout sensible à \(\mu_a\) ; aux hautes fréquences (\(s_r \gg 1/\delta\)), à \(\mu_s'\) (signal superficiel).

Extension aux Milieux Multicouches¶

Pour \(N\) couches d’épaisseurs \(L_i\) et paramètres \((\mu_{a,i}, \mu_{s,i}')\), chaque couche \(i\) a sa propre EDO avec \(\alpha_i = \sqrt{s_r^2+\mu_{a,i}/D_i}\). La solution dans chaque couche est \(A_i e^{+\alpha_i z}+B_i e^{-\alpha_i z}\). Les coefficients sont fixés par les conditions de raccordement (continuité de \(\tilde\Phi\) et \(D_i\partial_z\tilde\Phi\)) aux interfaces — système linéaire résolu pour chaque \(s_r\).