Approximation de la Diffusion¶

Introduction¶

Dans un milieu optiquement épais et fortement diffusant (\(\mu_s' \gg \mu_a\), \(\tau \gg 1\)), les photons subissent un très grand nombre de diffusions avant de s’échapper. Le champ devient presque isotrope et la dépendance angulaire de \(I(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)\) peut être réduite à ses deux premiers moments. L’ETR se simplifie alors en une équation de diffusion scalaire pour la fluence \(\Phi(\mathbf{r},t)\).

Développement \(P_1\) — Fermeture d’Eddington¶

À l’ordre 1 en harmoniques sphériques, l’intensité spécifique s’écrit :

\[I(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) \approx \frac{1}{4\pi}\left[\Phi(\mathbf{r},t) + 3\,\mathbf{J}(\mathbf{r},t)\cdot\hat{\mathbf{n}}\right]\]

La fonction de phase de Henyey–Greenstein tronquée à l’ordre 1 donne \(p \approx 1 + 3g(\hat{\mathbf{n}}'\cdot\hat{\mathbf{n}})\). La fermeture d’Eddington associée est :

\[P_{ij} = \frac{\Phi}{3}\,\delta_{ij}\]

exacte pour un champ isotrope, avec une erreur d’ordre \(O\!\left(\sqrt{\mu_a/\mu_s'}\right)\).

En injectant dans les équations de moments (voir Établissement de l’Équation du Transfert Radiatif) :

\[\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_a\,\Phi = S\]

\[\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t} + \frac{1}{3}\nabla\Phi + \mu_t'\,\mathbf{J} = \mathbf{0}\]

Loi de Fick et Équation de Diffusion¶

Dans le régime quasi-statique (\(\frac{1}{c}\partial_t\mathbf{J} \ll \mu_t'\mathbf{J}\)), la deuxième équation donne la loi de Fick :

\[\mathbf{J}(\mathbf{r},t) = -D\,\nabla\Phi(\mathbf{r},t)\]

avec le coefficient de diffusion :

\[\boxed{D = \frac{1}{3(\mu_a+\mu_s')} = \frac{1}{3\,\mu_t'}}\]

En substituant dans l’équation d’énergie, on obtient l’équation de diffusion :

\[\boxed{\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t} - \nabla\cdot(D\,\nabla\Phi) + \mu_a\,\Phi = S(\mathbf{r},t)}\]

En milieu homogène et en régime stationnaire, elle se réduit à l’équation de Helmholtz modifiée \(-D\,\nabla^2\Phi + \mu_a\,\Phi = S\), avec \(k^2 = \mu_a/D\).

La longueur de diffusion est :

\[\delta = \sqrt{\frac{D}{\mu_a}} = \frac{1}{\sqrt{3\,\mu_a\,\mu_t'}}\]

Elle représente l’échelle de décroissance exponentielle de la fluence en l’absence de source. Pour un tissu typique (\(\mu_a = 0{,}1\) cm\(^{-1}\), \(\mu_s' = 10\) cm\(^{-1}\)) : \(\delta \approx 0{,}58\) cm.

Conditions aux Limites¶

L’approximation de diffusion ne peut pas imposer exactement la nullité du flux entrant à l’interface. On la remplace par une condition de Dirichlet extrapolée au plan \(z = -z_b\) situé à l’extérieur du milieu :

\[\Phi\big|_{z=-z_b} = 0, \qquad z_b = 2\,A\,D\]

Le coefficient \(A\) tient compte de la réflexion interne de Fresnel à l’interface d’indice \(n\) :

\[A = \frac{1+R_\phi}{1-R_J}, \quad R_\phi = \int_0^{\pi/2}2\sin\theta\cos\theta\,R_F(\theta)\,d\theta, \quad R_J = \int_0^{\pi/2}3\sin\theta\cos^2\!\theta\,R_F(\theta)\,d\theta\]

Pour \(n = 1{,}4\) (tissu) : \(A \approx 3{,}84\), soit \(z_b \approx 2{,}56\,D\). Pour \(n = 1\) (pas de désaccord d’indice) : \(A = 1\), \(z_b = 2D\).

Extension au Régime Fréquentiel¶

Pour une source modulée à la pulsation \(\omega\), la fluence s’écrit \(\Phi(\mathbf{r},t) = \tilde\Phi(\mathbf{r})\,e^{-j\omega t}\) et l’équation devient :

\[-D\,\nabla^2\tilde\Phi + \left(\mu_a+\frac{j\omega}{c}\right)\tilde\Phi = S_0(\mathbf{r})\]

avec le coefficient d’atténuation effectif complexe :

\[k(\omega) = \sqrt{\frac{\mu_a+j\omega/c}{D}}\]

dont la partie réelle donne l’atténuation spatiale et la partie imaginaire le déphasage. En régime continu (\(\omega = 0\)) : \(k_0 = 1/\delta\).

Domaine de Validité¶

L’approximation de diffusion est valide si :

\(\mu_s' \gg \mu_a\) (typiquement un facteur 10)
\(r \gtrsim 3\,\ell^* = 3/\mu_t'\) (loin des sources et surfaces)
\(\omega \ll c\,\mu_t'\) (variation temporelle lente)

Elle est invalide au voisinage des sources ponctuelles (\(r \lesssim \ell^*\)), des interfaces, des régions à forte absorption (\(\mu_a \gtrsim \mu_s'\)) et des vides optiques. La méthode DOM (voir Méthode DOM 1D (Chandrasekhar) sans Fluorescence) ne requiert pas ces hypothèses.