DA 2D — Méthode des Dipôles avec Fluorescence¶

Introduction¶

On étend ici la résolution 2D par dipôles (voir DA 2D — Méthode des Dipôles sans Fluorescence) au cas fluorescent. La source d’excitation est un faisceau collimaté ponctuel \(F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\). Le terme source d’émission comprend deux contributions : les photons diffus \(\Phi_x\) et les photons balistiques \(F_0 e^{-\mu_{tx}z}\) qui peuvent tous deux exciter les fluorophores.

Système d’Équations de Diffusion 2D¶

Excitation :

\[-D_x\,\nabla^2\Phi_x + \mu_{ax}^\text{tot}\,\Phi_x = F_0\,\mu_{sx}'\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\]

avec \(\mu_{ax}^\text{tot} = \mu_{ax}+\mu_{af}\), \(D_x = 1/[3\,\mu_{tx}]\), \(\delta_x = \sqrt{D_x/\mu_{ax}^\text{tot}}\), \(z_{0x} = 1/\mu_{tx}\).

Émission (CW) :

\[-D_m\,\nabla^2\Phi_m + \mu_{am}\,\Phi_m = \eta\,\mu_{af}\!\left[\Phi_x(\rho,z) + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]\]

avec \(D_m = 1/[3(\mu_{am}+\mu_{sm}')]\), \(\delta_m = \sqrt{D_m/\mu_{am}}\).

Le terme source comprend deux contributions :

\(\eta\,\mu_{af}\,\Phi_x(\rho,z)\) — excitation par les photons diffus
\(\eta\,\mu_{af}\,F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\) — excitation par les photons balistiques

Résolution — Champ d’Excitation¶

Par l’approximation dipôlaire \(\mu_{tx}\,e^{-\mu_{tx} z'} \approx \delta(z'-z_{0x})\) (voir DA 2D — Méthode des Dipôles sans Fluorescence), la solution est :

\[\Phi_x(\rho,z) = \frac{F_0\,\mu_{sx}'}{4\pi D_x\,\mu_{tx}}\left[ \frac{e^{-\rho_{x+}/\delta_x}}{\rho_{x+}} - \frac{e^{-\rho_{x-}/\delta_x}}{\rho_{x-}} \right]\]

avec \(\rho_{x+} = \sqrt{\rho^2+(z-z_{0x})^2}\) et \(\rho_{x-} = \sqrt{\rho^2+(z+z_{0x}+2z_{bx})^2}\).

Résolution — Champ d’Émission¶

Par linéarité, on décompose \(\Phi_m = \Phi_m^\text{balist} + \Phi_m^\text{diff}\).

Contribution balistique \(\Phi_m^\text{balist}\)¶

Le terme source \(\eta\,\mu_{af}\,F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\) est une source axiale exponentielle. Par l’approximation dipôlaire en \(z_{0x}\), propagée dans le milieu d’émission (\(\delta_m\), \(z_{bm}\)) :

\[\Phi_m^\text{balist}(\rho,z) = \frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{4\pi D_m\,\mu_{tx}}\left[ \frac{e^{-\rho_{m+}/\delta_m}}{\rho_{m+}} - \frac{e^{-\rho_{m-}/\delta_m}}{\rho_{m-}} \right]\]

avec \(\rho_{m+} = \sqrt{\rho^2+(z-z_{0x})^2}\) et \(\rho_{m-} = \sqrt{\rho^2+(z+z_{0x}+2z_{bm})^2}\).

Note

\(\Phi_m^\text{balist}\) et \(\Phi_x\) ont la même source géométrique (\(z_{0x}\)), mais se propagent avec les propriétés optiques du milieu d’émission (\(\delta_m\), \(z_{bm}\)) et non d’excitation.

Contribution diffuse \(\Phi_m^\text{diff}\)¶

L’émission de fluorescence étant isotrope, chaque point source \((\rho_0,z_0)\) rayonne de façon égale dans toutes les directions : le terme source de l’équation d’émission est un scalaire sans dépendance angulaire. Combiné à la symétrie cylindrique de la géométrie, cela permet d’écrire directement la Green en coordonnées cylindriques \((\rho,z)\).

Fonction de Green cylindrique \(\mathcal{G}_m\)¶

La Green cylindrique \(\mathcal{G}_m(\rho,z;\rho_0,z_0)\) est la solution de l’équation de diffusion azimutalement symétrique avec source annulaire unitaire en \((\rho_0,z_0)\) :

\[-D_m\left[\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\frac{\partial\mathcal{G}_m}{\partial\rho}\right) +\frac{\partial^2\mathcal{G}_m}{\partial z^2}\right] +\mu_{am}\,\mathcal{G}_m = \frac{\delta(\rho-\rho_0)\,\delta(z-z_0)}{\rho_0}\]

avec la condition aux limites extrapolée \(\mathcal{G}_m(\rho,-z_{bm};\rho_0,z_0)=0\).

Note

Le facteur \(1/\rho_0\) au membre de droite provient de la forme de la mesure en coordonnées cylindriques : une source annulaire de puissance unitaire en \((\rho_0,z_0)\) s’écrit \(\delta(\rho-\rho_0)\delta(z-z_0)/(2\pi\rho_0)\) intégrée sur \(2\pi\) en \(\phi\).

Par la transformée de Hankel d’ordre 0 en \(\rho\) (qui diagonalise l’opérateur \(\frac{1}{\rho}\partial_\rho(\rho\partial_\rho)\)), \(\mathcal{G}_m\) admet la représentation :

\[\mathcal{G}_m(\rho,z;\rho_0,z_0) = \int_0^\infty \tilde{G}_m(s_r,z;z_0)\, J_0(s_r\rho)\,J_0(s_r\rho_0)\,s_r\,ds_r\]

\[\tilde{G}_m(s_r,z;z_0) = \frac{e^{-\alpha_m|z-z_0|}-e^{-\alpha_m(z+z_0+2z_{bm})}}{2\alpha_m D_m}, \qquad \alpha_m = \sqrt{s_r^2+\frac{1}{\delta_m^2}}\]

Intégrale de convolution cylindrique¶

La solution s’écrit alors comme une convolution dans le demi-plan \((\rho,z)\) :

\[\Phi_m^\text{diff}(\rho,z) = \eta\,\mu_{af} \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \mathcal{G}_m(\rho,z;\rho_0,z_0)\,\Phi_x(\rho_0,z_0)\,\rho_0\,d\rho_0\,dz_0\]

Solution

En substituant la représentation de Hankel de \(\mathcal{G}_m\) et en intervertissant les intégrations (Fubini) :

\[\Phi_m^\text{diff}(\rho,z) = \eta\,\mu_{af} \int_0^\infty \left[ \int_0^\infty \tilde{G}_m(s_r,z;z_0) \underbrace{\int_0^\infty \Phi_x(\rho_0,z_0)\,J_0(s_r\rho_0)\,\rho_0\,d\rho_0}_{=\;\tilde{\Phi}_x(s_r,z_0)} dz_0\right] J_0(s_r\rho)\,s_r\,ds_r\]

On reconnaît la transformée de Hankel inverse de \(\tilde{\Phi}_m^\text{diff}\).

Résultat dans l’espace de Fourier–Hankel :

\[\boxed{ \tilde{\Phi}_m^\text{diff}(s_r,z) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{D_m}\int_0^\infty \tilde{G}_m(s_r,z;z_0)\,\tilde{\Phi}_x(s_r,z_0)\,dz_0 }\]

\(\tilde{\Phi}_x(s_r,z_0)\) est la transformée de Hankel de \(\Phi_x(\cdot,z_0)\), donnée par DA 2D — Méthode de Kienle sans Fluorescence (Fréquences Spatiales). Cette intégrale 1D en \(z_0\) est calculée analytiquement dans la méthode de Kienle (DA 2D — Méthode de Kienle avec Fluorescence (Fréquences Spatiales)). Le retour en espace réel s’effectue par transformée de Hankel inverse :

\[\Phi_m^\text{diff}(\rho,z) = \int_0^\infty \tilde{\Phi}_m^\text{diff}(s_r,z)\,J_0(s_r\rho)\,s_r\,ds_r\]

Solution Totale¶

\[\boxed{\Phi_m(\rho,z) = \Phi_m^\text{balist}(\rho,z) + \Phi_m^\text{diff}(\rho,z)}\]

Réflectance de Fluorescence en \(z = 0\)¶

La réflectance (flux sortant en \(-z\)) est :

\[R_m(\rho) = D_m\,\frac{\partial\Phi_m}{\partial z}\bigg|_{z=0} = R_m^\text{balist}(\rho) + R_m^\text{diff}(\rho)\]

car \(\partial_z\Phi_m|_{z=0} > 0\) (la fluence croît de la surface vers la source).

Noyau de réflectance cylindrique \(\mathcal{K}_m\)¶

En passant la dérivée sous l’intégrale de convolution :

\[R_m^\text{diff}(\rho) = \eta\,\mu_{af} \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \underbrace{D_m\frac{\partial\mathcal{G}_m}{\partial z}\bigg|_{z=0}}_{\mathcal{K}_m(\rho\,;\rho_0,z_0)} \Phi_x(\rho_0,z_0)\,\rho_0\,d\rho_0\,dz_0\]

Le noyau \(\mathcal{K}_m\) est la dérivée en \(z=0\) de la Green cylindrique. En dérivant terme à terme l’intégrale azimutale de \(\mathcal{G}_m\), avec

\[\frac{\partial R_+}{\partial z}\bigg|_{z=0} = \frac{z - z_0}{R_+}\bigg|_{z=0} = \frac{-z_0}{R_+}, \qquad \frac{\partial R_-}{\partial z}\bigg|_{z=0} = \frac{z + z_0 + 2z_{bm}}{R_-}\bigg|_{z=0} = \frac{z_0+2z_{bm}}{R_-}\]

et \(\dfrac{\partial}{\partial z}\dfrac{e^{-R/\delta}}{R} = \dfrac{\partial R}{\partial z}\left(-\dfrac{1}{\delta R}-\dfrac{1}{R^2}\right)e^{-R/\delta}\), on obtient :

\[\mathcal{K}_m(\rho\,;\rho_0,z_0) = \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi} \left[ \frac{z_0\left(1+R_+/\delta_m\right)}{R_+^3}\,e^{-R_+/\delta_m} + \frac{(z_0+2z_{bm})\left(1+R_-/\delta_m\right)}{R_-^3}\,e^{-R_-/\delta_m} \right]d\phi_0\]

avec les distances source–observation en \(z=0\) :

\[R_+ = \sqrt{\rho^2+\rho_0^2-2\rho\rho_0\cos\phi_0+z_0^2}\]

\[R_- = \sqrt{\rho^2+\rho_0^2-2\rho\rho_0\cos\phi_0+(z_0+2z_{bm})^2}\]

L’intégrale azimutale sur \(\phi_0\) ne se simplifie pas en général (intégrales elliptiques pour \(\rho_0\neq 0\)) ; elle est évaluée numériquement.

Note

Pour \(\rho_0=0\) (source sur l’axe), \(R_\pm\) est indépendant de \(\phi_0\) et l’intégrale donne \(2\pi\), ce qui redonne exactement le noyau de \(R_m^\text{balist}\) ci-dessous.

Réflectance balistique¶

La source balistique est sur l’axe (\(\rho_0=0\), \(z_0=z_{0x}\)), l’intégrale azimutale vaut \(2\pi\) et on applique l’approximation \(\mu_{tx}\,e^{-\mu_{tx}z_0}\approx\delta(z_0-z_{0x})\) :

\[\boxed{R_m^\text{balist}(\rho) = \frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{4\pi\,\mu_{tx}} \left[ \frac{z_{0x}\left(1+\rho_{m+}/\delta_m\right)}{\rho_{m+}^3}\,e^{-\rho_{m+}/\delta_m} + \frac{(z_{0x}+2z_{bm})\left(1+\rho_{m-}/\delta_m\right)}{\rho_{m-}^3}\,e^{-\rho_{m-}/\delta_m} \right]}\]

avec \(\rho_{m+} = \sqrt{\rho^2+z_{0x}^2}\), \(\rho_{m-} = \sqrt{\rho^2+(z_{0x}+2z_{bm})^2}\).

Réflectance diffuse¶

La réflectance diffuse complète est une double intégrale en espace réel :

\[\boxed{ R_m^\text{diff}(\rho) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{4\pi} \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \Phi_x(\rho_0,z_0) \int_0^{2\pi}\!\! \left[ \frac{z_0(1+R_+/\delta_m)}{R_+^3}e^{-R_+/\delta_m} + \frac{(z_0+2z_{bm})(1+R_-/\delta_m)}{R_-^3}e^{-R_-/\delta_m} \right] d\phi_0\;\rho_0\,d\rho_0\,dz_0 }\]

\(\Phi_x(\rho_0,z_0)\) est donné par phi_x. La réflectance totale est :

\[R_m(\rho) = R_m^\text{balist}(\rho) + R_m^\text{diff}(\rho)\]

C’est la grandeur inversée en FDOT pour reconstruire \(\mu_{af}(\rho_0,z_0)\).

Extension Temporelle¶

En régime temporel, l’équation d’émission devient :

\[\frac{1}{c}\partial_t\Phi_m - D_m\nabla^2\Phi_m + \mu_{am}\Phi_m = \frac{\eta\,\mu_{af}}{\tau_f}\int_{-\infty}^{t}e^{-(t-t')/\tau_f} \!\left[\Phi_x(\rho,z,t') + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta(t')\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]dt'\]

En domaine de Laplace (\(s = j\omega\)), le terme source devient \(\frac{\eta\,\mu_{af}}{1+s\tau_f}\!\left[\tilde\Phi_x + F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\,\delta^{(2)}\right]\), et l’on remplace \(\mu_a \leftarrow \mu_a + s/c\) dans chaque équation.