Extension à la Fluorescence — Couple d’ETR¶

Introduction¶

La fluorescence est le phénomène par lequel un fluorophore absorbe un photon à la longueur d’onde d’excitation \(\lambda_x\) et réémet un photon à la longueur d’onde d’émission \(\lambda_m > \lambda_x\) (décalage de Stokes), après un temps de vie moyen \(\tau_f\). En imagerie optique diffuse fluorescente (FDOT), on cherche à reconstruire la distribution spatiale de fluorophores à partir des mesures de surface.

Ce phénomène couple deux champs radiatifs — excitation et émission — via un terme source fluorescent. Il faut donc résoudre un système de deux ETR couplées.

Notations¶

On note \(I_x\) et \(I_m\) les intensités spécifiques aux longueurs d’onde d’excitation et d’émission, \(\kappa_x, \sigma_x\) et \(\kappa_m, \sigma_m\) les coefficients d’absorption et de diffusion du milieu à chaque longueur d’onde, \(\mu_{af}(\mathbf{r})\) le coefficient d’absorption du fluorophore à \(\lambda_x\), \(\eta \in [0,1]\) le rendement quantique et \(\tau_f\) le temps de vie de fluorescence.

Physique du Fluorophore¶

Le processus se déroule en trois étapes : (1) absorption d’un photon d’excitation (transition \(S_0 \to S_1^*\)), (2) relaxation vibrationnelle non radiative (picosecondes) vers le bas de \(S_1\), (3) émission spontanée d’un photon de fluorescence à \(\lambda_m > \lambda_x\) avec un taux radiatif \(k_r = \eta/\tau_f\).

Le terme source de fluorescence émis par unité de volume, de temps et d’angle solide est :

\[q_m(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) = \frac{\eta\,\mu_{af}(\mathbf{r})}{4\pi} \int_{-\infty}^{t} \frac{e^{-(t-t')/\tau_f}}{\tau_f}\,\Phi_x(\mathbf{r},t')\,dt'\]

où \(\Phi_x = \int I_x\,d\Omega\) est la fluence d’excitation. La convolution temporelle avec \(e^{-t/\tau_f}/\tau_f\) traduit l’émission exponentielle du fluorophore. En régime continu (CW), elle se simplifie en \(q_m^\text{CW} = \frac{\eta\,\mu_{af}}{4\pi}\Phi_x\).

Le Système de Deux ETR Couplées¶

ETR d’excitation. Le fluorophore contribue à l’absorption totale : \(\kappa_x^\text{tot} = \kappa_x + \mu_{af}\). L’ETR d’excitation est donc :

\[\frac{1}{c}\frac{\partial I_x}{\partial t} + \hat{\mathbf{n}}\cdot\nabla I_x = -(\kappa_x^\text{tot}+\sigma_x)\,I_x + \kappa_x\,B_x(T) + \sigma_x\int_{4\pi} p_x\,I_x'\,\frac{d\Omega'}{4\pi} + S_x(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)\]

ETR d’émission. Elle est pilotée par le terme source fluorescent \(q_m\) :

\[\frac{1}{c}\frac{\partial I_m}{\partial t} + \hat{\mathbf{n}}\cdot\nabla I_m = -(\kappa_m+\sigma_m)\,I_m + \sigma_m\int_{4\pi} p_m\,I_m'\,\frac{d\Omega'}{4\pi} + \frac{\eta\,\mu_{af}(\mathbf{r})}{4\pi} \int_{-\infty}^{t}\frac{e^{-(t-t')/\tau_f}}{\tau_f}\,\Phi_x(\mathbf{r},t')\,dt'\]

Note

Le couplage est unidirectionnel : l’excitation pilote l’émission, mais l’émission ne rétroagit pas sur l’excitation (hypothèse de faible conversion). Les deux ETR se résolvent donc séquentiellement — d’abord \(I_x\), puis \(I_m\).

Approximation de Diffusion Appliquée¶

Dans le régime diffusif (\(\mu_s' \gg \mu_a\), \(r \gg \ell^*\)), chaque ETR se réduit à une équation de diffusion (voir Approximation de la Diffusion). Le système devient :

Équation de diffusion d’excitation :

\[\boxed{-\nabla\cdot(D_x\,\nabla\Phi_x) + (\mu_{ax}+\mu_{af})\,\Phi_x = S_x(\mathbf{r})}\]

avec \(D_x = 1/[3(\mu_{ax}+\mu_{af}+\mu_{sx}')]\).

Équation de diffusion d’émission (CW) :

\[\boxed{-\nabla\cdot(D_m\,\nabla\Phi_m) + \mu_{am}\,\Phi_m = \eta\,\mu_{af}(\mathbf{r})\,\Phi_x(\mathbf{r})}\]

Équation de diffusion d’émission (temporel) :

\[\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi_m}{\partial t} - \nabla\cdot(D_m\,\nabla\Phi_m) + \mu_{am}\,\Phi_m = \frac{\eta\,\mu_{af}}{\tau_f}\int_{-\infty}^{t} e^{-(t-t')/\tau_f}\,\Phi_x(\mathbf{r},t')\,dt'\]

Domaine Fréquentiel¶

Pour une source modulée à la pulsation \(\omega\), les composantes modulées \(\tilde\Phi_x\) et \(\tilde\Phi_m\) vérifient :

\[-\nabla\cdot(D_x\nabla\tilde\Phi_x) + \left(\mu_{ax}^\text{tot}+\frac{j\omega}{c}\right)\tilde\Phi_x = \tilde S_x\]

\[-\nabla\cdot(D_m\nabla\tilde\Phi_m) + \left(\mu_{am}+\frac{j\omega}{c}\right)\tilde\Phi_m = \frac{\eta\,\mu_{af}}{1+j\omega\tau_f}\,\tilde\Phi_x\]

Le facteur \((1+j\omega\tau_f)^{-1}\) encode le déphasage introduit par le temps de vie, exploitable pour discriminer des fluorophores de durées de vie différentes.

Paramètres Mesurables et Problème Inverse¶

En FDOT, on mesure en surface le flux d’émission \(\Phi_m|_{\partial\Omega}\) pour différentes configurations source/détecteur. Selon la modalité :

CW : on reconstruit \(\eta\,\mu_{af}(\mathbf{r})\) (produit non séparable).
FD : l’amplitude et la phase de \(\tilde\Phi_m\) permettent de séparer \(\mu_{af}(\mathbf{r})\) et \(\tau_f(\mathbf{r})\).
TD : la TPSF de fluorescence donne accès à \(\mu_{af}(\mathbf{r})\), \(\eta\) et \(\tau_f(\mathbf{r})\) séparément.