DA 1D — Méthode des Dipôles sans Fluorescence¶

Introduction¶

On considère ici le cas 1D : le milieu est un plan infini homogène et la fluence ne dépend que de la profondeur \(z\). L’équation de diffusion se réduit à une EDO en \(z\), dont la solution par la méthode des images (dipôles) est particulièrement simple et pédagogique avant de passer au cas 2D (voir DA 2D — Méthode des Dipôles sans Fluorescence).

Géométrie et Terme Source¶

Milieu semi-infini occupant \(z \ge 0\). La source est un faisceau collimaté d’irradiance \(F_0\) (W mm\(^{-2}\)) entrant en \(z = 0\) et s’atténuant selon la loi de Beer-Lambert :

\[S(z) = F_0\,\mu_s'\,e^{-\mu_t z}\]

Le facteur \(\mu_s'\) traduit la conversion des photons balistiques en photons diffus : seule la fraction diffusée alimente la fluence diffuse. La profondeur caractéristique d’injection est \(z_0 = 1/\mu_t\).

Équation Gouvernante¶

L’équation de diffusion stationnaire 1D est :

\[-D\,\frac{d^2\Phi}{dz^2} + \mu_a\,\Phi = F_0\,\mu_s'\,e^{-\mu_t z}\]

Les paramètres sont \(D = 1/[3(\mu_a+\mu_s')]\), \(\delta = \sqrt{D/\mu_a}\), \(z_b = 2AD\) (distance extrapolée), avec la condition aux limites \(\Phi(-z_b) = 0\).

Fonction de Green 1D¶

La solution fondamentale de \(-D\,d^2G/dz^2 + \mu_a\,G = \delta(z-z_s)\) est :

\[G_\infty(z,z_s) = \frac{1}{2\sqrt{D\mu_a}}\,e^{-|z-z_s|/\delta} = \frac{\delta}{2D}\,e^{-|z-z_s|/\delta}\]

Solution par la Méthode des Dipôles¶

On cherche la solution de l’équation non-homogène. La solution particulière pour le terme source \(F_0\,\mu_s'\,e^{-\mu_t z}\) est :

\[\Phi_\text{part}(z) = \frac{F_0\,\mu_s'\,\delta^2/D}{1-(\delta\,\mu_t)^2}\,e^{-\mu_t z} = \frac{F_0\,\mu_s'}{D(\mu_t^2 - \mu_a/D)}\,e^{-\mu_t z} = \frac{F_0\,\mu_s'}{D\mu_t^2 - \mu_a}\,e^{-\mu_t z}\]

Solution

On injecte \(\Phi_\text{part} = A\,e^{-\mu_t z}\) dans l’équation :

\[-D(-\mu_t)^2 A\,e^{-\mu_t z} + \mu_a A\,e^{-\mu_t z} = F_0\,\mu_s'\,e^{-\mu_t z}\]

\[A(\mu_a - D\mu_t^2) = F_0\,\mu_s' \implies A = \frac{F_0\,\mu_s'}{\mu_a - D\mu_t^2}\]

Comme \(\mu_a - D\mu_t^2 = \mu_a - \mu_t^2/[3(\mu_a+\mu_s')] < 0\) en général (car \(\mu_t \gg \mu_a\)), on écrit \(A = -F_0\,\mu_s'/(D\mu_t^2-\mu_a)\).

Pour satisfaire la condition \(\Phi(-z_b)=0\), on ajoute la solution homogène \(C\,e^{-z/\delta}\) (terme décroissant, borné pour \(z\to\infty\)), et une source image négative en \(z_- = -(z_0+2z_b)\) via la fonction de Green :

\[\boxed{\Phi(z) = \frac{F_0\,\mu_s'}{\mu_a - D\mu_t^2}\,e^{-\mu_t z} + \frac{\delta}{2D}\left[C_+\,e^{-|z-z_0|/\delta} - C_-\,e^{-|z+z_0+2z_b|/\delta}\right]}\]

avec \(z_0 = 1/\mu_t\) et les constantes \(C_\pm\) fixées par \(\Phi(-z_b)=0\) et la continuité de \(d\Phi/dz\) en \(z=0\) :

\[C_- = C_+, \qquad C_+ = -\frac{F_0\,\mu_s'}{\mu_a - D\mu_t^2}\,\frac{e^{\mu_t z_b}}{\cosh(z_b/\delta)}\]

Flux en Surface \(z = 0\)¶

Le flux sortant en surface est \(J(0) = -D\,d\Phi/dz|_{z=0}\) :

\[\boxed{J(0) = F_0\,\mu_s'\left[ \frac{D\mu_t}{\mu_a - D\mu_t^2} + \frac{1}{2}\left(e^{-z_0/\delta} - e^{-(z_0+2z_b)/\delta}\right) + \frac{1}{2}C_+\left(e^{-z_0/\delta} + e^{-(z_0+2z_b)/\delta}\right) \right]}\]

Le premier terme est la contribution balistique directe ; les suivants sont les contributions diffuses (dipôle réel et image).

Cas Temporel — Impulsion de Dirac¶

Pour une source impulsionnelle \(F_0\,\delta(t)\,e^{-\mu_t z}\), la fluence dépendante du temps est obtenue par transformée de Laplace inverse avec \(\mu_a \to \mu_a + s/c\) :

\[\Phi(z,t) = \frac{c}{\sqrt{4\pi Dct}}\,e^{-\mu_a ct} \left[e^{-(z-z_0)^2/(4Dct)} - e^{-(z+z_0+2z_b)^2/(4Dct)}\right]\]

modifiée par la contribution du terme source étendu \(e^{-\mu_t z}\).

Régime Fréquentiel¶

Pour une source modulée \(e^{-j\omega t}\), on substitue \(\mu_a \leftarrow \mu_a + j\omega/c\) et \(\delta \leftarrow 1/k(\omega)\) avec \(k = \sqrt{(\mu_a+j\omega/c)/D}\). De même, \(\mu_t\) est inchangé (coefficient de transport total, indépendant de la modulation). La solution garde la même forme avec les paramètres complexes.