Établissement de l’Équation du Transfert Radiatif¶

Introduction¶

L’équation du transfert radiatif (ETR) est l’équation de bilan qui gouverne l’évolution de la luminance \(I_\nu(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{n}}, t)\) d’un rayonnement se propageant dans un milieu pouvant l’absorber, l’émettre et le diffuser. Son établissement repose sur un bilan de photons dans un volume élémentaire de l’espace des phases (position × direction × fréquence).

La grandeur \(I_\nu\) représente l’énergie rayonnante transportée par unité de temps, d’aire perpendiculaire, d’angle solide et d’intervalle de fréquence, dans la direction \(\hat{\mathbf{n}}\) au point \(\mathbf{r}\) à l’instant \(t\) :

\[dE = I_\nu(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{n}}, t)\;\cos\theta\;dA\;d\Omega\;d\nu\;dt\]

Grandeurs dérivées¶

L’intégration angulaire de \(I_\nu\) donne les trois moments fondamentaux :

Fluence \(\Phi_\nu = \int_{4\pi} I_\nu\,d\Omega\) (W cm\(^{-2}\) Hz\(^{-1}\))
Densité d’énergie \(u_\nu = \Phi_\nu / c\) (J cm\(^{-3}\) Hz\(^{-1}\))
Vecteur flux \(\mathbf{F}_\nu = \int_{4\pi} I_\nu\,\hat{\mathbf{n}}\,d\Omega\) (W cm\(^{-2}\) Hz\(^{-1}\))
Tenseur de pression \(\mathbf{P}_\nu = \frac{1}{c}\int_{4\pi} I_\nu\,\hat{\mathbf{n}}\otimes\hat{\mathbf{n}}\,d\Omega\)

Bilan dans un Volume Élémentaire¶

On considère un cylindre élémentaire de section \(dA\), de longueur \(ds = c\,dt\), orienté selon \(\hat{\mathbf{n}}\). Quatre processus contribuent au bilan d’énergie.

Transport. La propagation libre le long de \(\hat{\mathbf{n}}\) contribue :

\[\left.\frac{\partial I_\nu}{\partial t}\right|_\text{transp} = -c\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\nabla I_\nu \]

Absorption. Le milieu absorbe une fraction proportionnelle au coefficient d’absorption \(\kappa_\nu\) (cm\(^{-1}\)) :

\[\left.\frac{\partial I_\nu}{\partial t}\right|_\text{abs} = -c\,\kappa_\nu\,I_\nu\]

Émission thermique. En équilibre thermodynamique local (ETL), la loi de Kirchhoff donne une émissivité égale à l’absorptivité, d’où :

\[\left.\frac{\partial I_\nu}{\partial t}\right|_\text{ém} = c\,\kappa_\nu\,B_\nu(T)\]

où \(B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT}-1}\) est la fonction de Planck.

Diffusion élastique. Le milieu dévie les photons sans changer leur fréquence. Deux contributions s’opposent : la perte hors de la direction \(\hat{\mathbf{n}}\) (coefficient de diffusion \(\sigma_\nu\)) et le gain par rediffusion depuis toutes les directions \(\hat{\mathbf{n}}'\), pondéré par la fonction de phase \(p(\hat{\mathbf{n}}',\hat{\mathbf{n}})\) :

\[\left.\frac{\partial I_\nu}{\partial t}\right|_\text{diff} = c\,\sigma_\nu\left[ -I_\nu(\hat{\mathbf{n}}) + \int_{4\pi} p(\hat{\mathbf{n}}',\hat{\mathbf{n}})\,I_\nu(\hat{\mathbf{n}}')\,\frac{d\Omega'}{4\pi} \right]\]

La fonction de phase est normalisée : \(\int_{4\pi} p\,d\Omega'/(4\pi) = 1\).

L’Équation du Transfert Radiatif¶

En regroupant les quatre contributions, on obtient l’ETR :

\[\boxed{ \frac{1}{c}\frac{\partial I_\nu}{\partial t} + \hat{\mathbf{n}} \cdot \nabla I_\nu = -\chi_\nu\,I_\nu + \kappa_\nu\,B_\nu(T) + \sigma_\nu \int_{4\pi} p(\hat{\mathbf{n}}',\hat{\mathbf{n}})\,I_\nu(\hat{\mathbf{n}}')\,\frac{d\Omega'}{4\pi} + q_\nu }\]

avec l’opacité totale \(\chi_\nu = \kappa_\nu + \sigma_\nu\), l’albédo de diffusion simple \(\varpi_\nu = \sigma_\nu/\chi_\nu \in [0,1]\), et \(q_\nu\) un terme de source externe (laser, etc.).

Profondeur Optique et Solution Formelle¶

La profondeur optique le long du rayon est \(d\tau_\nu = \chi_\nu\,ds\). Un milieu est optiquement mince si \(\tau_\nu \ll 1\) (photons libres) et optiquement épais si \(\tau_\nu \gg 1\) (nombreuses interactions).

La solution formelle intégrée le long du rayon est :

\[I_\nu(\tau_\nu) = I_\nu(0)\,e^{-\tau_\nu} + \int_0^{\tau_\nu} S_\nu(\tau_\nu')\,e^{-(\tau_\nu-\tau_\nu')}\,d\tau_\nu'\]

avec la fonction source \(S_\nu = (\kappa_\nu B_\nu + \sigma_\nu J_\nu)/\chi_\nu\) et l’intensité moyenne \(J_\nu = \frac{1}{4\pi}\int I_\nu\,d\Omega\).

Fonctions de Phase¶

Diffusion isotrope : \(p = 1\). Valide pour les très petites particules (\(x = 2\pi a/\lambda \ll 1\)s).

Henyey–Greenstein (1941) : modèle analytique très utilisé en milieux biologiques et nuageux,

\[p_\text{HG}(\cos\theta) = \frac{1-g^2}{\left(1+g^2-2g\cos\theta\right)^{3/2}}\]

où \(g = \langle\cos\theta\rangle \in [-1,1]\) est le facteur d’anisotropie. Pour les tissus biologiques, \(g \approx 0{,}9\) (diffusion fortement vers l’avant).

Coefficients Réduits¶

En diffusion anisotrope, on définit le coefficient de diffusion réduit \(\mu_s' = \mu_s(1-g)\) et l’opacité réduite \(\mu_t' = \mu_a + \mu_s'\). Le libre parcours moyen de transport \(\ell^* = 1/\mu_t'\) est l’échelle au-delà de laquelle le rayonnement perd la mémoire de sa direction initiale — c’est la condition de validité de l’approximation de diffusion (voir Approximation de la Diffusion).

Équations de Moments¶

L’intégration angulaire de l’ETR génère une hiérarchie. Les deux premiers moments sont :

\[\frac{\partial u_\nu}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{F}_\nu = c\,\kappa_\nu(4\pi B_\nu - c\,u_\nu)\]

\[\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{F}_\nu}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{P}_\nu = -\chi_\nu\,\frac{\mathbf{F}_\nu}{c}\]

Ces équations sont exactes mais non fermées : \(\mathbf{P}_\nu\) dépend de \(I_\nu\). La fermeture d’Eddington (approximation de diffusion) est présentée dans Approximation de la Diffusion.