DA 2D — Méthode des Dipôles avec Fluorescence ============================================== Introduction ------------ On étend ici la résolution 2D par dipôles (voir :doc:`06_da_2d_dipoles_sans_fluo`) au cas **fluorescent**. La source d'excitation est un faisceau collimaté ponctuel $F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})$. Le terme source d'émission comprend **deux contributions** : les photons diffus $\Phi_x$ et les photons balistiques $F_0 e^{-\mu_{tx}z}$ qui peuvent tous deux exciter les fluorophores. Système d'Équations de Diffusion 2D -------------------------------------- **Excitation :** $$-D_x\,\nabla^2\Phi_x + \mu_{ax}^\text{tot}\,\Phi_x = F_0\,\mu_{sx}'\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})$$ avec $\mu_{ax}^\text{tot} = \mu_{ax}+\mu_{af}$, $D_x = 1/[3\,\mu_{tx}]$, $\delta_x = \sqrt{D_x/\mu_{ax}^\text{tot}}$, $z_{0x} = 1/\mu_{tx}$. **Émission (CW) :** $$-D_m\,\nabla^2\Phi_m + \mu_{am}\,\Phi_m = \eta\,\mu_{af}\!\left[\Phi_x(\rho,z) + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]$$ avec $D_m = 1/[3(\mu_{am}+\mu_{sm}')]$, $\delta_m = \sqrt{D_m/\mu_{am}}$. Le terme source comprend deux contributions : - $\eta\,\mu_{af}\,\Phi_x(\rho,z)$ — excitation par les photons **diffus** - $\eta\,\mu_{af}\,F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})$ — excitation par les photons **balistiques** Résolution — Champ d'Excitation --------------------------------- Par l'approximation dipôlaire $\mu_{tx}\,e^{-\mu_{tx} z'} \approx \delta(z'-z_{0x})$ (voir :doc:`06_da_2d_dipoles_sans_fluo`), la solution est : .. math:: \Phi_x(\rho,z) = \frac{F_0\,\mu_{sx}'}{4\pi D_x\,\mu_{tx}}\left[ \frac{e^{-\rho_{x+}/\delta_x}}{\rho_{x+}} - \frac{e^{-\rho_{x-}/\delta_x}}{\rho_{x-}} \right] avec $\rho_{x+} = \sqrt{\rho^2+(z-z_{0x})^2}$ et $\rho_{x-} = \sqrt{\rho^2+(z+z_{0x}+2z_{bx})^2}$. Résolution — Champ d'Émission -------------------------------- Par linéarité, on décompose $\Phi_m = \Phi_m^\text{balist} + \Phi_m^\text{diff}$. **Contribution balistique** $\Phi_m^\text{balist}$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Le terme source $\eta\,\mu_{af}\,F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})$ est une source axiale exponentielle. Par l'approximation dipôlaire en $z_{0x}$, propagée dans le milieu d'émission ($\delta_m$, $z_{bm}$) : .. math:: \Phi_m^\text{balist}(\rho,z) = \frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{4\pi D_m\,\mu_{tx}}\left[ \frac{e^{-\rho_{m+}/\delta_m}}{\rho_{m+}} - \frac{e^{-\rho_{m-}/\delta_m}}{\rho_{m-}} \right] avec $\rho_{m+} = \sqrt{\rho^2+(z-z_{0x})^2}$ et $\rho_{m-} = \sqrt{\rho^2+(z+z_{0x}+2z_{bm})^2}$. .. note:: $\Phi_m^\text{balist}$ et $\Phi_x$ ont la même source géométrique ($z_{0x}$), mais se propagent avec les propriétés optiques du milieu d'**émission** ($\delta_m$, $z_{bm}$) et non d'excitation. **Contribution diffuse** $\Phi_m^\text{diff}$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ L'émission de fluorescence étant **isotrope**, chaque point source $(\rho_0,z_0)$ rayonne de façon égale dans toutes les directions : le terme source de l'équation d'émission est un **scalaire** sans dépendance angulaire. Combiné à la symétrie cylindrique de la géométrie, cela permet d'écrire directement la Green en coordonnées cylindriques $(\rho,z)$. Fonction de Green cylindrique $\mathcal{G}_m$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La Green cylindrique $\mathcal{G}_m(\rho,z;\rho_0,z_0)$ est la solution de l'équation de diffusion azimutalement symétrique avec source annulaire unitaire en $(\rho_0,z_0)$ : .. math:: -D_m\left[\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\frac{\partial\mathcal{G}_m}{\partial\rho}\right) +\frac{\partial^2\mathcal{G}_m}{\partial z^2}\right] +\mu_{am}\,\mathcal{G}_m = \frac{\delta(\rho-\rho_0)\,\delta(z-z_0)}{\rho_0} avec la condition aux limites extrapolée $\mathcal{G}_m(\rho,-z_{bm};\rho_0,z_0)=0$. .. note:: Le facteur $1/\rho_0$ au membre de droite provient de la forme de la mesure en coordonnées cylindriques : une source annulaire de puissance unitaire en $(\rho_0,z_0)$ s'écrit $\delta(\rho-\rho_0)\delta(z-z_0)/(2\pi\rho_0)$ intégrée sur $2\pi$ en $\phi$. Par la transformée de Hankel d'ordre 0 en $\rho$ (qui diagonalise l'opérateur $\frac{1}{\rho}\partial_\rho(\rho\partial_\rho)$), $\mathcal{G}_m$ admet la représentation : .. math:: \mathcal{G}_m(\rho,z;\rho_0,z_0) = \int_0^\infty \tilde{G}_m(s_r,z;z_0)\, J_0(s_r\rho)\,J_0(s_r\rho_0)\,s_r\,ds_r $$\tilde{G}_m(s_r,z;z_0) = \frac{e^{-\alpha_m|z-z_0|}-e^{-\alpha_m(z+z_0+2z_{bm})}}{2\alpha_m D_m}, \qquad \alpha_m = \sqrt{s_r^2+\frac{1}{\delta_m^2}}$$ Intégrale de convolution cylindrique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La solution s'écrit alors comme une convolution dans le demi-plan $(\rho,z)$ : .. math:: \Phi_m^\text{diff}(\rho,z) = \eta\,\mu_{af} \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \mathcal{G}_m(\rho,z;\rho_0,z_0)\,\Phi_x(\rho_0,z_0)\,\rho_0\,d\rho_0\,dz_0 .. solution:: En substituant la représentation de Hankel de $\mathcal{G}_m$ et en intervertissant les intégrations (Fubini) : $$\Phi_m^\text{diff}(\rho,z) = \eta\,\mu_{af} \int_0^\infty \left[ \int_0^\infty \tilde{G}_m(s_r,z;z_0) \underbrace{\int_0^\infty \Phi_x(\rho_0,z_0)\,J_0(s_r\rho_0)\,\rho_0\,d\rho_0}_{=\;\tilde{\Phi}_x(s_r,z_0)} dz_0\right] J_0(s_r\rho)\,s_r\,ds_r$$ On reconnaît la transformée de Hankel inverse de $\tilde{\Phi}_m^\text{diff}$. **Résultat dans l'espace de Fourier–Hankel :** .. math:: \boxed{ \tilde{\Phi}_m^\text{diff}(s_r,z) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{D_m}\int_0^\infty \tilde{G}_m(s_r,z;z_0)\,\tilde{\Phi}_x(s_r,z_0)\,dz_0 } $\tilde{\Phi}_x(s_r,z_0)$ est la transformée de Hankel de $\Phi_x(\cdot,z_0)$, donnée par :doc:`08_da_2d_kienle_sans_fluo`. Cette intégrale 1D en $z_0$ est calculée **analytiquement** dans la méthode de Kienle (:doc:`09_da_2d_kienle_avec_fluo`). Le retour en espace réel s'effectue par transformée de Hankel inverse : $$\Phi_m^\text{diff}(\rho,z) = \int_0^\infty \tilde{\Phi}_m^\text{diff}(s_r,z)\,J_0(s_r\rho)\,s_r\,ds_r$$ Solution Totale ~~~~~~~~~~~~~~~~ .. math:: \boxed{\Phi_m(\rho,z) = \Phi_m^\text{balist}(\rho,z) + \Phi_m^\text{diff}(\rho,z)} Réflectance de Fluorescence en $z = 0$ ---------------------------------------- La réflectance (flux sortant en $-z$) est : $$R_m(\rho) = D_m\,\frac{\partial\Phi_m}{\partial z}\bigg|_{z=0} = R_m^\text{balist}(\rho) + R_m^\text{diff}(\rho)$$ car $\partial_z\Phi_m|_{z=0} > 0$ (la fluence croît de la surface vers la source). Noyau de réflectance cylindrique $\mathcal{K}_m$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ En passant la dérivée sous l'intégrale de convolution : $$R_m^\text{diff}(\rho) = \eta\,\mu_{af} \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \underbrace{D_m\frac{\partial\mathcal{G}_m}{\partial z}\bigg|_{z=0}}_{\mathcal{K}_m(\rho\,;\rho_0,z_0)} \Phi_x(\rho_0,z_0)\,\rho_0\,d\rho_0\,dz_0$$ Le noyau $\mathcal{K}_m$ est la dérivée en $z=0$ de la Green cylindrique. En dérivant terme à terme l'intégrale azimutale de $\mathcal{G}_m$, avec .. math:: \frac{\partial R_+}{\partial z}\bigg|_{z=0} = \frac{z - z_0}{R_+}\bigg|_{z=0} = \frac{-z_0}{R_+}, \qquad \frac{\partial R_-}{\partial z}\bigg|_{z=0} = \frac{z + z_0 + 2z_{bm}}{R_-}\bigg|_{z=0} = \frac{z_0+2z_{bm}}{R_-} et $\dfrac{\partial}{\partial z}\dfrac{e^{-R/\delta}}{R} = \dfrac{\partial R}{\partial z}\left(-\dfrac{1}{\delta R}-\dfrac{1}{R^2}\right)e^{-R/\delta}$, on obtient : .. math:: \mathcal{K}_m(\rho\,;\rho_0,z_0) = \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi} \left[ \frac{z_0\left(1+R_+/\delta_m\right)}{R_+^3}\,e^{-R_+/\delta_m} + \frac{(z_0+2z_{bm})\left(1+R_-/\delta_m\right)}{R_-^3}\,e^{-R_-/\delta_m} \right]d\phi_0 avec les distances source–observation en $z=0$ : $$R_+ = \sqrt{\rho^2+\rho_0^2-2\rho\rho_0\cos\phi_0+z_0^2}$$ $$R_- = \sqrt{\rho^2+\rho_0^2-2\rho\rho_0\cos\phi_0+(z_0+2z_{bm})^2}$$ L'intégrale azimutale sur $\phi_0$ ne se simplifie pas en général (intégrales elliptiques pour $\rho_0\neq 0$) ; elle est évaluée numériquement. .. note:: Pour $\rho_0=0$ (source sur l'axe), $R_\pm$ est indépendant de $\phi_0$ et l'intégrale donne $2\pi$, ce qui redonne exactement le noyau de $R_m^\text{balist}$ ci-dessous. Réflectance balistique ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La source balistique est sur l'axe ($\rho_0=0$, $z_0=z_{0x}$), l'intégrale azimutale vaut $2\pi$ et on applique l'approximation $\mu_{tx}\,e^{-\mu_{tx}z_0}\approx\delta(z_0-z_{0x})$ : .. math:: \boxed{R_m^\text{balist}(\rho) = \frac{\eta\,\mu_{af}\,F_0}{4\pi\,\mu_{tx}} \left[ \frac{z_{0x}\left(1+\rho_{m+}/\delta_m\right)}{\rho_{m+}^3}\,e^{-\rho_{m+}/\delta_m} + \frac{(z_{0x}+2z_{bm})\left(1+\rho_{m-}/\delta_m\right)}{\rho_{m-}^3}\,e^{-\rho_{m-}/\delta_m} \right]} avec $\rho_{m+} = \sqrt{\rho^2+z_{0x}^2}$, $\rho_{m-} = \sqrt{\rho^2+(z_{0x}+2z_{bm})^2}$. Réflectance diffuse ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La réflectance diffuse complète est une **double intégrale en espace réel** : .. math:: \boxed{ R_m^\text{diff}(\rho) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{4\pi} \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \Phi_x(\rho_0,z_0) \int_0^{2\pi}\!\! \left[ \frac{z_0(1+R_+/\delta_m)}{R_+^3}e^{-R_+/\delta_m} + \frac{(z_0+2z_{bm})(1+R_-/\delta_m)}{R_-^3}e^{-R_-/\delta_m} \right] d\phi_0\;\rho_0\,d\rho_0\,dz_0 } $\Phi_x(\rho_0,z_0)$ est donné par :eq:`phi_x`. La réflectance totale est : .. math:: R_m(\rho) = R_m^\text{balist}(\rho) + R_m^\text{diff}(\rho) C'est la grandeur inversée en FDOT pour reconstruire $\mu_{af}(\rho_0,z_0)$. Extension Temporelle --------------------- En régime temporel, l'équation d'émission devient : $$\frac{1}{c}\partial_t\Phi_m - D_m\nabla^2\Phi_m + \mu_{am}\Phi_m = \frac{\eta\,\mu_{af}}{\tau_f}\int_{-\infty}^{t}e^{-(t-t')/\tau_f} \!\left[\Phi_x(\rho,z,t') + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\,\delta(t')\,\delta^{(2)}(\boldsymbol{\rho})\right]dt'$$ En domaine de Laplace ($s = j\omega$), le terme source devient $\frac{\eta\,\mu_{af}}{1+s\tau_f}\!\left[\tilde\Phi_x + F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\,\delta^{(2)}\right]$, et l'on remplace $\mu_a \leftarrow \mu_a + s/c$ dans chaque équation. .. seealso:: :doc:`05_da_1d_dipoles_avec_fluo` — cas 1D fluorescent plus simple. :doc:`06_da_2d_dipoles_sans_fluo` — cas 2D sans fluorescence. :doc:`09_da_2d_kienle_avec_fluo` — résolution analytique fermée via fréquences spatiales.