Établissement de l'Équation du Transfert Radiatif ================================================== Introduction ------------ L'équation du transfert radiatif (ETR) est l'équation de bilan qui gouverne l'évolution de la **luminance** :math:`I_\nu(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{n}}, t)` d'un rayonnement se propageant dans un milieu pouvant l'absorber, l'émettre et le diffuser. Son établissement repose sur un bilan de photons dans un volume élémentaire de l'espace des phases (position × direction × fréquence). La grandeur :math:`I_\nu` représente l'énergie rayonnante transportée par unité de temps, d'aire perpendiculaire, d'angle solide et d'intervalle de fréquence, dans la direction :math:`\hat{\mathbf{n}}` au point :math:`\mathbf{r}` à l'instant :math:`t` : .. math:: dE = I_\nu(\mathbf{r}, \hat{\mathbf{n}}, t)\;\cos\theta\;dA\;d\Omega\;d\nu\;dt Grandeurs dérivées ------------------ L'intégration angulaire de :math:`I_\nu` donne les trois moments fondamentaux : - **Fluence** :math:`\Phi_\nu = \int_{4\pi} I_\nu\,d\Omega` (W cm$^{-2}$ Hz$^{-1}$) - **Densité d'énergie** :math:`u_\nu = \Phi_\nu / c` (J cm$^{-3}$ Hz$^{-1}$) - **Vecteur flux** :math:`\mathbf{F}_\nu = \int_{4\pi} I_\nu\,\hat{\mathbf{n}}\,d\Omega` (W cm$^{-2}$ Hz$^{-1}$) - **Tenseur de pression** :math:`\mathbf{P}_\nu = \frac{1}{c}\int_{4\pi} I_\nu\,\hat{\mathbf{n}}\otimes\hat{\mathbf{n}}\,d\Omega` Bilan dans un Volume Élémentaire --------------------------------- On considère un cylindre élémentaire de section :math:`dA`, de longueur :math:`ds = c\,dt`, orienté selon $\hat{\mathbf{n}}$. Quatre processus contribuent au bilan d'énergie. **Transport.** La propagation libre le long de :math:`\hat{\mathbf{n}}` contribue : .. math:: \left.\frac{\partial I_\nu}{\partial t}\right|_\text{transp} = -c\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\nabla I_\nu **Absorption.** Le milieu absorbe une fraction proportionnelle au coefficient d'absorption :math:`\kappa_\nu` (cm$^{-1}$) : .. math:: \left.\frac{\partial I_\nu}{\partial t}\right|_\text{abs} = -c\,\kappa_\nu\,I_\nu **Émission thermique.** En équilibre thermodynamique local (ETL), la loi de Kirchhoff donne une émissivité égale à l'absorptivité, d'où : .. math:: \left.\frac{\partial I_\nu}{\partial t}\right|_\text{ém} = c\,\kappa_\nu\,B_\nu(T) où :math:`B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT}-1}` est la **fonction de Planck**. **Diffusion élastique.** Le milieu dévie les photons sans changer leur fréquence. Deux contributions s'opposent : la *perte* hors de la direction :math:`\hat{\mathbf{n}}` (coefficient de diffusion :math:`\sigma_\nu`) et le *gain* par rediffusion depuis toutes les directions :math:`\hat{\mathbf{n}}'`, pondéré par la **fonction de phase** :math:`p(\hat{\mathbf{n}}',\hat{\mathbf{n}})` : .. math:: \left.\frac{\partial I_\nu}{\partial t}\right|_\text{diff} = c\,\sigma_\nu\left[ -I_\nu(\hat{\mathbf{n}}) + \int_{4\pi} p(\hat{\mathbf{n}}',\hat{\mathbf{n}})\,I_\nu(\hat{\mathbf{n}}')\,\frac{d\Omega'}{4\pi} \right] La fonction de phase est normalisée : :math:`\int_{4\pi} p\,d\Omega'/(4\pi) = 1`. L'Équation du Transfert Radiatif --------------------------------- En regroupant les quatre contributions, on obtient l'ETR : .. math:: \boxed{ \frac{1}{c}\frac{\partial I_\nu}{\partial t} + \hat{\mathbf{n}} \cdot \nabla I_\nu = -\chi_\nu\,I_\nu + \kappa_\nu\,B_\nu(T) + \sigma_\nu \int_{4\pi} p(\hat{\mathbf{n}}',\hat{\mathbf{n}})\,I_\nu(\hat{\mathbf{n}}')\,\frac{d\Omega'}{4\pi} + q_\nu } avec l'**opacité totale** :math:`\chi_\nu = \kappa_\nu + \sigma_\nu`, l'**albédo de diffusion simple** :math:`\varpi_\nu = \sigma_\nu/\chi_\nu \in [0,1]`, et :math:`q_\nu` un terme de source externe (laser, etc.). Profondeur Optique et Solution Formelle ---------------------------------------- La **profondeur optique** le long du rayon est :math:`d\tau_\nu = \chi_\nu\,ds`. Un milieu est *optiquement mince* si :math:`\tau_\nu \ll 1` (photons libres) et *optiquement épais* si :math:`\tau_\nu \gg 1` (nombreuses interactions). La solution formelle intégrée le long du rayon est : .. math:: I_\nu(\tau_\nu) = I_\nu(0)\,e^{-\tau_\nu} + \int_0^{\tau_\nu} S_\nu(\tau_\nu')\,e^{-(\tau_\nu-\tau_\nu')}\,d\tau_\nu' avec la **fonction source** :math:`S_\nu = (\kappa_\nu B_\nu + \sigma_\nu J_\nu)/\chi_\nu` et l'intensité moyenne :math:`J_\nu = \frac{1}{4\pi}\int I_\nu\,d\Omega`. Fonctions de Phase ------------------- **Diffusion isotrope** : :math:`p = 1`. Valide pour les très petites particules ($x = 2\pi a/\lambda \ll 1$s). **Henyey–Greenstein (1941)** : modèle analytique très utilisé en milieux biologiques et nuageux, .. math:: p_\text{HG}(\cos\theta) = \frac{1-g^2}{\left(1+g^2-2g\cos\theta\right)^{3/2}} où :math:`g = \langle\cos\theta\rangle \in [-1,1]` est le **facteur d'anisotropie**. Pour les tissus biologiques, :math:`g \approx 0{,}9` (diffusion fortement vers l'avant). Coefficients Réduits --------------------- En diffusion anisotrope, on définit le **coefficient de diffusion réduit** :math:`\mu_s' = \mu_s(1-g)` et l'**opacité réduite** :math:`\mu_t' = \mu_a + \mu_s'`. Le **libre parcours moyen de transport** :math:`\ell^* = 1/\mu_t'` est l'échelle au-delà de laquelle le rayonnement perd la mémoire de sa direction initiale — c'est la condition de validité de l'approximation de diffusion (voir :doc:`../da/03_approximation_diffusion`). Équations de Moments --------------------- L'intégration angulaire de l'ETR génère une hiérarchie. Les deux premiers moments sont : .. math:: \frac{\partial u_\nu}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{F}_\nu = c\,\kappa_\nu(4\pi B_\nu - c\,u_\nu) .. math:: \frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{F}_\nu}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{P}_\nu = -\chi_\nu\,\frac{\mathbf{F}_\nu}{c} Ces équations sont exactes mais **non fermées** : :math:`\mathbf{P}_\nu` dépend de :math:`I_\nu`. La fermeture d'Eddington (approximation de diffusion) est présentée dans :doc:`../da/03_approximation_diffusion`. .. seealso:: :doc:`02_fluorescence_etr` — extension à la fluorescence (couple d'ETR). :doc:`../da/03_approximation_diffusion` — réduction de l'ETR à une équation de diffusion.