DA 1D — Méthode des Dipôles avec Fluorescence ============================================== Introduction ------------ On étend ici la résolution 1D par dipôles au cas **fluorescent**. Le système couplé (voir :doc:`../base/02_fluorescence_etr`) se réduit, dans l'approximation de diffusion 1D, à deux EDO en $z$ reliées par un terme source. Le couplage est unidirectionnel : on résout d'abord le champ d'excitation $\Phi_x(z)$, dont la solution sert de terme source pour le champ d'émission $\Phi_m(z)$. Terme Source et Système d'Équations 1D ---------------------------------------- La source d'excitation est un faisceau collimaté d'irradiance $F_0$ s'atténuant selon la loi de Beer-Lambert : $$S_x(z) = F_0\,\mu_{sx}'\,e^{-\mu_{tx} z}$$ avec $\mu_{tx} = \mu_{ax}^\text{tot} + \mu_{sx}'$ le coefficient de transport total à $\lambda_x$, et $\mu_{ax}^\text{tot} = \mu_{ax} + \mu_{af}$. **Excitation :** $$-D_x\,\frac{d^2\Phi_x}{dz^2} + \mu_{ax}^\text{tot}\,\Phi_x = F_0\,\mu_{sx}'\,e^{-\mu_{tx} z}$$ avec $D_x = 1/[3\,\mu_{tx}]$. **Émission (CW) :** $$-D_m\,\frac{d^2\Phi_m}{dz^2} + \mu_{am}\,\Phi_m = \eta\,\mu_{af}\!\left[\Phi_x(z) + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\right]$$ avec $D_m = 1/[3(\mu_{am}+\mu_{sm}')]$ et les conditions aux limites extrapolées $\Phi_x(-z_{bx}) = 0$ et $\Phi_m(-z_{bm}) = 0$. Le terme $F_0\,e^{-\mu_{tx} z}$ représente la contribution **balistique directe** : les photons non encore diffusés sont absorbés par le fluorophore et contribuent à l'émission. Le terme $\Phi_x(z)$ est la contribution des photons diffus. Résolution — Champ d'Excitation --------------------------------- La solution pour $\Phi_x$ est celle de l'équation de diffusion avec terme source exponentiel (voir :doc:`04_da_1d_dipoles_sans_fluo`) : .. math:: \Phi_x(z) = \underbrace{\frac{F_0\,\mu_{sx}'}{\mu_{ax}^\text{tot} - D_x\mu_{tx}^2}\,e^{-\mu_{tx} z}}_{\text{terme balistique amorti}} + \underbrace{\frac{\delta_x}{2D_x}\left[C_{x+}\,e^{-|z-z_{0x}|/\delta_x} - C_{x-}\,e^{-|z+z_{0x}+2z_{bx}|/\delta_x}\right]}_{\text{dipôle diffus + image}} avec $z_{0x} = 1/\mu_{tx}$, $\delta_x = \sqrt{D_x/\mu_{ax}^\text{tot}}$ et les constantes $C_{x\pm}$ fixées par $\Phi_x(-z_{bx}) = 0$. Résolution — Champ d'Émission -------------------------------- Le membre de droite de l'équation d'émission $\eta\,\mu_{af}\!\left[\Phi_x(z) + F_0\,e^{-\mu_{tx} z}\right]$ est une combinaison de trois types de termes exponentiels : $e^{-\mu_{tx} z}$ (terme balistique direct + contribution balistique de $\Phi_x$) et $e^{-|z-z_s|/\delta_x}$ (termes diffus de $\Phi_x$). On cherche la solution particulière pour chaque exponentielle par la **méthode de Green 1D**. **Solution particulière pour le terme balistique total** $\eta\,\mu_{af}(A_0 + F_0)\,e^{-\mu_{tx} z}$ où $A_0 = F_0\,\mu_{sx}'/(\mu_{ax}^\text{tot} - D_x\mu_{tx}^2)$ est le coefficient du terme $e^{-\mu_{tx}z}$ dans $\Phi_x$ : $$\Phi_{m,\text{balist}}^\text{part}(z) = \frac{\eta\,\mu_{af}\,(A_0 + F_0)}{\mu_{am} - D_m\mu_{tx}^2}\,e^{-\mu_{tx} z}$$ **Solution particulière pour un terme diffus** $A_s\,e^{-|z-z_s|/\delta_x}$ ($\delta_x \neq \delta_m$) : .. math:: \Phi_{m,\text{diff}}^\text{part}(z) = \frac{\eta\,\mu_{af}\,A_s\,\delta_m^2/D_m}{1-(\delta_m/\delta_x)^2}\,e^{-|z-z_s|/\delta_x} .. solution:: On injecte $\Phi^\text{part} = B\,e^{-|z-z_s|/\delta_x}$ dans l'EDO d'émission : $$-D_m\,\frac{d^2}{dz^2}\left(B\,e^{-z/\delta_x}\right) + \mu_{am}\,B\,e^{-z/\delta_x} = B\left(-\frac{D_m}{\delta_x^2} + \mu_{am}\right)e^{-z/\delta_x} = B\,\frac{\mu_{am}\delta_x^2 - D_m}{\delta_x^2}\,e^{-z/\delta_x}$$ En égalisant au terme source $\eta\,\mu_{af}\,A_s\,e^{-z/\delta_x}$ : $$B = \frac{\eta\,\mu_{af}\,A_s\,\delta_x^2}{\mu_{am}\delta_x^2 - D_m} = \frac{\eta\,\mu_{af}\,A_s\,\delta_m^2/D_m}{1-(\delta_m/\delta_x)^2}$$ car $D_m/\delta_m^2 = \mu_{am}$. La solution complète est la somme des solutions particulières plus la solution homogène de l'EDO d'émission : .. math:: \boxed{\Phi_m(z) = \Phi_m^\text{part}(z) + C_m\,e^{-z/\delta_m}} $$C_m = -\Phi_m^\text{part}(-z_{bm})\,e^{z_{bm}/\delta_m}$$ Cas Particulier $\delta_x = \delta_m$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Quand les longueurs de diffusion d'excitation et d'émission coïncident, la solution particulière devient résonnante et prend la forme $z\,e^{-z/\delta}$ : .. math:: \Phi_m^\text{part}(z) = \frac{\eta\,\mu_{af}}{2D_m}\,\frac{z}{\delta}\,e^{-|z-z_0|/\delta} Cette situation est rare en pratique ($\lambda_x \neq \lambda_m$ implique généralement $\mu_a(\lambda_x) \neq \mu_a(\lambda_m)$). Flux d'Émission en Surface --------------------------- Le flux d'émission détecté en $z = 0$ est : $$J_m(0) = -D_m\,\frac{d\Phi_m}{dz}\bigg|_{z=0}$$ Il dépend de $\mu_{af}$, $\eta$, $F_0$, ainsi que des propriétés optiques à chaque longueur d'onde. C'est la grandeur mesurée en FDOT. Extension Temporelle --------------------- En régime temporel, la convolution avec le temps de vie ajoute un terme : $$\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi_m}{\partial t} - D_m\,\frac{\partial^2\Phi_m}{\partial z^2} + \mu_{am}\,\Phi_m = \frac{\eta\,\mu_{af}}{\tau_f}\int_{-\infty}^{t}e^{-(t-t')/\tau_f} \!\left[\Phi_x(z,t') + F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\,\delta(t')\right]dt'$$ Le terme $F_0\,e^{-\mu_{tx}z}\,\delta(t')$ représente l'impulsion balistique à $t=0$. En domaine fréquentiel ($\omega$), le facteur de déphasage $(1+j\omega\tau_f)^{-1}$ modifie l'amplitude et la phase du terme source, permettant de séparer les contributions de fluorophores de durées de vie différentes. .. seealso:: :doc:`04_da_1d_dipoles_sans_fluo` — cas sans fluorescence dont ce fichier est l'extension. :doc:`../base/02_fluorescence_etr` — système d'ETR couplées dont est issu le système de DA. :doc:`07_da_2d_dipoles_avec_fluo` — extension au cas 2D.